凸包

给定二维平面内的一组点集,求出包住所有点的最小的凸多边形。

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输入: [(1, 1), (2, 2), (2, 0), (2, 4), (3, 3), (4, 2)]
输出: [(4, 2), (2, 4), (1, 1), (2, 0)]

算法思路是先排序(优先按x轴),然后分别求出上下包围线,从左到右遍历的过程使用单调栈维护包围线,包围线只能向同一侧弯曲(上包围线向下弯曲,上包围线向下弯曲),用叉乘计算连续两个线段的弯曲方向(二维向量其实是拟叉乘,三维向量的叉乘结果应该是一个向量,屏幕上两向量叉乘是一个指向屏幕外或屏幕内的向量,这里只用一个带正负的值表示方向和长度,其实我们这里也只用到方向)

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// 二维向量
struct v2d {
double x;
double y;
};

// 二维向量拟叉积运算
double pseudoCross(const v2d& v1, const v2d& v2) {
return v1.x * v2.y - v1.y * v2.x;
}

v2d operator - (const v2d& v1, const v2d& v2) {
return v2d{v1.x-v2.x, v1.y-v2.y};
}

// 返回一个逆时针围成的凸包(如果要顺时针可以把上下边界换一换,改变while中的比较就可以)
vector<v2d> convexHull(vector<v2d>& pnts) {
sort(pnts.begin(), pnts.end(), [](const v2d& v1, const v2d& v2) {
return ((v1.x != v2.x)?(v1.x< v2.x):(v1.y < v2.y));
});
int n = pnts.size();
vector<int> v(n*2); // v 其实是两个单调栈在中间接起来
int p = n; // 从v中间向后增长的单调栈, p为栈顶的下一个位置(将要被使用的空间)
int q = n; // 从v中间向前增长的单调栈, q为栈顶的下一个位置(将要被使用的空间)
for(int i=0; i<n; i++){
while(p-n>=2 && pseudoCross(pnts[i]-pnts[v[p-1]], pnts[v[p-1]]-pnts[v[p-2]])>=0){
p--; // 弯曲方向不对,出栈
}
while(n-q>=2 && pseudoCross(pnts[i]-pnts[v[q+1]], pnts[v[q+1]]-pnts[v[q+2]])<=0){
q++; // 弯曲方向不对,出栈
}
v[p++] = i;
v[q--] = i;
}
vector<v2d> res;
for(int i=q+1;i<p-1;i++) {
res.push_back(pnts[v[i]]);
}
return res;
}